Розв'яжіть (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24,4375-5,273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24,4375+5,273385416i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб піднести \frac{6}{25+x} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Виразіть \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x як єдиний дріб.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Обчисліть 6 у степені 2 і отримайте 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Відніміть 32 з обох сторін.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

Розкладіть 625+50x+x^{2} на множники.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте 32 на \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Оскільки знаменник дробів \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} і \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Виконайте множення у виразі 36x-32\left(x+25\right)^{2}.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Зведіть подібні члени у виразі 36x-32x^{2}-1600x-20000.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Змінна x не може дорівнювати -25, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x+25\right)^{2}.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -32 замість a, -1564 замість b і -20000 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Піднесіть -1564 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Помножте -4 на -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Помножте 128 на -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

Додайте 2446096 до -2560000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -113904.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Число, протилежне до -1564, дорівнює 1564.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Помножте 2 на -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} за додатного значення ±. Додайте 1564 до 12i\sqrt{791}.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

Розділіть 1564+12i\sqrt{791} на -64.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} за від’ємного значення ±. Відніміть 12i\sqrt{791} від 1564.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

Розділіть 1564-12i\sqrt{791} на -64.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Щоб піднести \frac{6}{25+x} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Виразіть \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x як єдиний дріб.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Обчисліть 6 у степені 2 і отримайте 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Змінна x не може дорівнювати -25, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 32 на x^{2}+50x+625.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

Відніміть 32x^{2} з обох сторін.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

Відніміть 1600x з обох сторін.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

Додайте 36x до -1600x, щоб отримати -1564x.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

Розділіть обидві сторони на -32.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

Ділення на -32 скасовує множення на -32.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-1564}{-32} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

Розділіть 20000 на -32.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

Поділіть \frac{391}{8} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{391}{16}. Потім додайте \frac{391}{16} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{391}{16} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

Додайте -625 до \frac{152881}{256}.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

Відніміть \frac{391}{16} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$