Розв'яжіть (1/sqrt{5-sqrt{2}}+1/sqrt{5+sqrt{4}})^2

$$( \frac { 1 } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 4 } } ) ^ { 2 }$$

Обчислити

$$\frac{8\sqrt{10}}{9}-\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{16\sqrt{5}}{3}+\frac{118}{9}\approx 2,110710624$$

Стислі кроки з розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{5}+\sqrt{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

Розглянемо \left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

Піднесіть \sqrt{5} до квадрата. Піднесіть \sqrt{2} до квадрата.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

Відніміть 2 від 5, щоб отримати 3.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

Обчисліть квадратний корінь із 4, щоб отримати 2.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}+2}\right)^{2}$$

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{1}{\sqrt{5}+2}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{5}-2.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\right)^{2}$$

Розглянемо \left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}\right)^{2}$$

Піднесіть \sqrt{5} до квадрата. Піднесіть 2 до квадрата.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}\right)^{2}$$

Відніміть 4 від 5, щоб отримати 1.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{1}\right)^{2}$$

Результат ділення будь-якого числа на одиницю дорівнює самому числу.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\sqrt{5}-2\right)^{2}$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте \sqrt{5}-2 на \frac{3}{3}.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3}\right)^{2}$$

Оскільки \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} та \frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3}\right)^{2}$$

Виконайте множення у виразі \sqrt{5}+\sqrt{2}+3\left(\sqrt{5}-2\right).

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+3\sqrt{5}-6}{3}\right)^{2}$$

Виконайте арифметичні операції у виразі \sqrt{5}+\sqrt{2}+3\sqrt{5}-6.

$$\left(\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6}{3} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$\frac{\left(4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6\right)^{2}}{3^{2}}$$

Піднесіть 4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6 до квадрата.

$$\frac{8\sqrt{2}\sqrt{5}+16\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Щоб перемножте \sqrt{2} та \sqrt{5}, перемножте номери в квадратних корені.

$$\frac{8\sqrt{10}+16\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$\frac{8\sqrt{10}+16\times 5+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Помножте 16 на 5, щоб отримати 80.

$$\frac{8\sqrt{10}+80+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$\frac{8\sqrt{10}+80+2-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Додайте 80 до 2, щоб обчислити 82.

$$\frac{8\sqrt{10}+82-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Додайте 82 до 36, щоб обчислити 118.

$$\frac{8\sqrt{10}+118-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}}{3^{2}}$$

Обчисліть 3 у степені 2 і отримайте 9.

$$\frac{8\sqrt{10}+118-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}}{9}$$

Розкласти

$$\frac{8 \sqrt{10}}{9} - \frac{4 \sqrt{2}}{3} - \frac{16 \sqrt{5}}{3} + \frac{118}{9} = 2,110710624$$

Стислі кроки з розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{5}+\sqrt{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

Розглянемо \left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

Піднесіть \sqrt{5} до квадрата. Піднесіть \sqrt{2} до квадрата.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

Відніміть 2 від 5, щоб отримати 3.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\right)^{2}$$

Обчисліть квадратний корінь із 4, щоб отримати 2.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}+2}\right)^{2}$$

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{1}{\sqrt{5}+2}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{5}-2.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\right)^{2}$$

Розглянемо \left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}\right)^{2}$$

Піднесіть \sqrt{5} до квадрата. Піднесіть 2 до квадрата.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}\right)^{2}$$

Відніміть 4 від 5, щоб отримати 1.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}-2}{1}\right)^{2}$$

Результат ділення будь-якого числа на одиницю дорівнює самому числу.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\sqrt{5}-2\right)^{2}$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте \sqrt{5}-2 на \frac{3}{3}.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}+\frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3}\right)^{2}$$

Оскільки \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} та \frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+3\left(\sqrt{5}-2\right)}{3}\right)^{2}$$

Виконайте множення у виразі \sqrt{5}+\sqrt{2}+3\left(\sqrt{5}-2\right).

$$\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+3\sqrt{5}-6}{3}\right)^{2}$$

Виконайте арифметичні операції у виразі \sqrt{5}+\sqrt{2}+3\sqrt{5}-6.

$$\left(\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6}{3} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$\frac{\left(4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6\right)^{2}}{3^{2}}$$

Піднесіть 4\sqrt{5}+\sqrt{2}-6 до квадрата.

$$\frac{8\sqrt{2}\sqrt{5}+16\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Щоб перемножте \sqrt{2} та \sqrt{5}, перемножте номери в квадратних корені.

$$\frac{8\sqrt{10}+16\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$\frac{8\sqrt{10}+16\times 5+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Помножте 16 на 5, щоб отримати 80.

$$\frac{8\sqrt{10}+80+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$\frac{8\sqrt{10}+80+2-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Додайте 80 до 2, щоб обчислити 82.

$$\frac{8\sqrt{10}+82-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}+36}{3^{2}}$$

Додайте 82 до 36, щоб обчислити 118.

$$\frac{8\sqrt{10}+118-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}}{3^{2}}$$

Обчисліть 3 у степені 2 і отримайте 9.

$$\frac{8\sqrt{10}+118-48\sqrt{5}-12\sqrt{2}}{9}$$