Розв'яжіть z^4-2z^2+3=0

$${ z }^{ 4 } -2 { z }^{ 2 } +3=0$$

Знайдіть z

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}\approx -1,168770894+0,605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}}\approx 1,168770894-0,605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}\approx -1,168770894-0,605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}}\approx 1,168770894+0,605000334i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Підставте t для z^{2}.

$$t^{2}-2t+3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -2 – на b, а 3 – на c.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$t=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння t=\frac{2±\sqrt{-8}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$t=1+\sqrt{2}i t=-\sqrt{2}i+1$$

Оскільки z=t^{2} – це рішення, отримані під час обчислення z=±\sqrt{t} для кожної t.

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}$$