Розв'яжіть z^2-25z+16=0

$${ z }^{ 2 } -25z+16 = 0$$

Знайдіть z

$$z = \frac{\sqrt{561} + 25}{2} \approx 24,342719282$$

$$z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}\approx 0,657280718$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z^{2}-25z+16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -25 замість b і 16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Піднесіть -25 до квадрата.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 16}}{2}$$

Помножте -4 на 16.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-64}}{2}$$

Додайте 625 до -64.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{561}}{2}$$

Число, протилежне до -25, дорівнює 25.

$$z=\frac{25±\sqrt{561}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{25±\sqrt{561}}{2} за додатного значення ±. Додайте 25 до \sqrt{561}.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{25±\sqrt{561}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{561} від 25.

$$z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2} z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-25z+16=0$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$z^{2}-25z+16-16=-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$z^{2}-25z=-16$$

Поділіть -25 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{25}{2}. Потім додайте -\frac{25}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$z^{2}-25z+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-16+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{25}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$z^{2}-25z+\frac{625}{4}=-16+\frac{625}{4}$$

Додайте -16 до \frac{625}{4}.

$$z^{2}-25z+\frac{625}{4}=\frac{561}{4}$$

Розкладіть z^{2}-25z+\frac{625}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{561}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(z-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{561}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$z-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{561}}{2} z-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{561}}{2}$$

Додайте \frac{25}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2} z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$