Розв'яжіть x^6-1

$${ x }^{ 6 } -1$$

Розкласти на множники

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Перепишіть x^{6}-1 як \left(x^{3}\right)^{2}-1^{2}. Різницю квадратів можна розкласти на множники за таким правилом: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+1\right)$$

Розглянемо x^{3}-1. Перепишіть x^{3}-1 як x^{3}-1^{3}. Різницю кубів можна розкласти на множники за таким правилом: a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).

$$\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)$$

Розглянемо x^{3}+1. Перепишіть x^{3}+1 як x^{3}+1^{3}. Суму кубів можна розкласти на множники за таким правилом: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз. Ці многочлени не розкладаються на співмножники, бо не мають раціональних коренів: x^{2}-x+1,x^{2}+x+1.

$$\left(x-1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)$$

Обчислити

$$\left(x^{2}-1\right)\left(\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2}\right)$$