Розв'яжіть x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Знайдіть x

$$x=-1$$

$$x=1$$

Покрокове розв’язання

Відніміть x^{4} з обох сторін.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Упорядкуйте рівняння, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте члени в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 1, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 на x-1, щоб отримати x^{5}+x^{4}-x-1. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -1, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{5}+x^{4}-x-1 на x-1, щоб отримати x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 1, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 на x+1, щоб отримати x^{3}+x^{2}+x+1. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 1, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}+x^{2}+x+1 на x+1, щоб отримати x^{2}+1. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 0 – на b, а 1 – на c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Оскільки квадратний корінь із від’ємного числа не визначений на множині дійсних чисел, розв’язку немає.

$$x\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=1 x=-1$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$