Розв'яжіть x^4-18x^2+81

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

Розкласти на множники

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Щоб розкласти на множники вираз, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 81, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=3$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}-18x^{2}+81 на x-3, щоб отримати x^{3}+3x^{2}-9x-27. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -27, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=3$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}+3x^{2}-9x-27 на x-3, щоб отримати x^{2}+6x+9. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{2}+6x+9=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 6 – на b, а 9 – на c.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

Розв’язки збігаються.

$$x=-3$$

Переписати розкладений на множники вираз за допомогою отриманих коренів.

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Обчислити

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$