Розв'яжіть x^2-x-6>0

$${ x }^{ 2 } -x-6 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-2\right)\cup \left(3,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-6=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -1 – на b, а -6 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-6\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±5}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±5}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=3 x=-2$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-3 і x+2 мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-3 і x+2 від’ємні.

$$x-3<0 x+2<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-2.

$$x<-2$$

Розглянемо випадок, коли x-3 і x+2 додатні.

$$x+2>0 x-3>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>3.

$$x>3$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-2\text{; }x>3$$