Розв'яжіть x^2-x-6<=0

$${ x }^{ 2 } -x-6 < =0$$

Знайти x

$$x\in \left(-2,3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-6=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -1 – на b, а -6 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-6\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±5}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±5}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=3 x=-2$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-3 і x+2 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-3 має додатне значення, а x+2 – від’ємне.

$$x-3>0 x+2<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+2 має додатне значення, а x-3 – від’ємне.

$$x+2>0 x-3<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-2,3\right).

$$x\in \left(-2,3\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-2,3\right)$$