Розв'яжіть x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -1 – на b, а -1 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} і x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} і x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} від’ємні.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} і x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} додатні.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$