Розв'яжіть x^2-x-1=0

$${ x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -1 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Додайте 1 до 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} за додатного значення ±. Додайте 1 до \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{5} від 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$x^{2}-x=1$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Додайте 1 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$