Розв'яжіть x^2-x+1=0

$${ x }^{ 2 } -x+1=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-0,866025404i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -1 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2}$$

Додайте 1 до -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} за додатного значення ±. Додайте 1 до i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{3} від 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-x=-1$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Додайте -1 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$