Розв'яжіть x^2-6x+8>0

$${ x }^{ 2 } -6x+8 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,2\right)\cup \left(4,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -6 – на b, а 8 – на c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{6±2}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{6±2}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=4 x=2$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-4 і x-2 мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-4 і x-2 від’ємні.

$$x-4<0 x-2<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<2.

$$x<2$$

Розглянемо випадок, коли x-4 і x-2 додатні.

$$x-2>0 x-4>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>4.

$$x>4$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<2\text{; }x>4$$