Розв'яжіть x^2-4x-1=0

$${ x }^{ 2 } -4x-1=0$$

Знайдіть x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -4 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Додайте 16 до 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} за додатного значення ±. Додайте 4 до 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Розділіть 4+2\sqrt{5} на 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{5} від 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Розділіть 4-2\sqrt{5} на 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$x^{2}-4x=1$$

Поділіть -4 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -2. Потім додайте -2 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Додайте 1 до 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Розкладіть x^{2}-4x+4 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Виконайте спрощення.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$