Розв'яжіть x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -3 – на b, а 1 – на c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} і x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} має додатне значення, а x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} – від’ємне.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} має додатне значення, а x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} – від’ємне.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$