Розв'яжіть x^2-2x-3leq0

$${ x }^{ 2 } -2x-3 \leq 0$$

Знайти x

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -2 – на b, а -3 – на c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{2±4}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=3 x=-1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)\leq 0$$

Щоб добуток був ≤0, одне зі значень x-3 і x+1 має бути ≥0, а інше – ≤0. Розглянемо випадок, коли x-3\geq 0 і x+1\leq 0.

$$x-3\geq 0 x+1\leq 0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-3\leq 0 і x+1\geq 0.

$$x+1\geq 0 x-3\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left[-1,3\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$