Розв'яжіть x^2-115x+5046=0

$${ x }^{ 2 } -115x+5046=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2}\approx 57,5+41,710310476i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}\approx 57,5-41,710310476i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-115x+5046=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -115 замість b і 5046 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\times 5046}}{2}$$

Піднесіть -115 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\times 5046}}{2}$$

Помножте -4 на 5046.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-20184}}{2}$$

Додайте 13225 до -20184.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{-6959}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -6959.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{6959}i}{2}$$

Число, протилежне до -115, дорівнює 115.

$$x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2} за додатного значення ±. Додайте 115 до i\sqrt{6959}.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{115±\sqrt{6959}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{6959} від 115.

$$x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-115x+5046=0$$

Відніміть 5046 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-115x+5046-5046=-5046$$

Якщо відняти 5046 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-115x=-5046$$

Поділіть -115 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{115}{2}. Потім додайте -\frac{115}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=-5046+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{115}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-5046+\frac{13225}{4}$$

Додайте -5046 до \frac{13225}{4}.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-\frac{6959}{4}$$

Розкладіть x^{2}-115x+\frac{13225}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=-\frac{6959}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6959}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{\sqrt{6959}i}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{\sqrt{6959}i}{2}$$

Додайте \frac{115}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{115+\sqrt{6959}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6959}i+115}{2}$$