Розв'яжіть x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2,5-0,866025404i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 5 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Додайте 25 до -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} за додатного значення ±. Додайте -5 до i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{3} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

Якщо відняти 7 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+5x=-7$$

Поділіть 5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{2}. Потім додайте \frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Додайте -7 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Розкладіть x^{2}+5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Відніміть \frac{5}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$