Розв'яжіть x^2+3x+54=0

$${ x }^{ 2 } +3x+54 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3+3\sqrt{23}i}{2}\approx -1,5+7,193747285i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i-3}{2}\approx -1,5-7,193747285i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}+3x+54=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 3 замість b і 54 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 54}}{2}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 54}}{2}$$

Помножте -4 на 54.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-216}}{2}$$

Додайте 9 до -216.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-207}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -207.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{2} за додатного значення ±. Додайте -3 до 3i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{23}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 3i\sqrt{23} від -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i-3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{23}i-3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+54=0$$

Відніміть 54 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+3x+54-54=-54$$

Якщо відняти 54 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+3x=-54$$

Поділіть 3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{2}. Потім додайте \frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-54+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-54+\frac{9}{4}$$

Додайте -54 до \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{207}{4}$$

Розкладіть x^{2}+3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{207}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{207}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{23}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{23}i}{2}$$

Відніміть \frac{3}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{23}i-3}{2}$$