Розв'яжіть t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

Знайдіть t

$$t=9$$

$$t=100$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники

Щоб розв'язати рівняння, t^{2}-109t+900 використання формули t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-109 ab=900$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -109.

$$a=-100 b=-9$$

Перепишіть розкладений на множники вираз \left(t+a\right)\left(t+b\right) за допомогою отриманих значень.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть t-100=0 та t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді t^{2}+at+bt+900. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -109.

$$a=-100 b=-9$$

Перепишіть t^{2}-109t+900 як \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right).

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

t на першій та -9 в друге групу.

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

Винесіть за дужки спільний член t-100, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть t-100=0 та t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -109 замість b і 900 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

Піднесіть -109 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

Помножте -4 на 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

Додайте 11881 до -3600.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 8281.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

Число, протилежне до -109, дорівнює 109.

$$t=\frac{109±91}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{109±91}{2} за додатного значення ±. Додайте 109 до 91.

$$t=\frac{200}{2}$$

Розділіть 200 на 2.

$$t=100$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{109±91}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 91 від 109.

$$t=\frac{18}{2}$$

Розділіть 18 на 2.

$$t=9$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=100 t=9$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Відніміть 900 від обох сторін цього рівняння.

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

Якщо відняти 900 від самого себе, залишиться 0.

$$t^{2}-109t=-900$$

Поділіть -109 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{109}{2}. Потім додайте -\frac{109}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{109}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

Додайте -900 до \frac{11881}{4}.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

Розкладіть t^{2}-109t+\frac{11881}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

Додайте \frac{109}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$t=100 t=9$$