Розв'яжіть left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Знайдіть x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+22x+121, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Додайте x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Додайте 28x до -22x, щоб отримати 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Відніміть 121 від 196, щоб отримати 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Додайте 12x до обох сторін.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Додайте 6x до 12x, щоб отримати 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Відніміть 36 з обох сторін.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Відніміть 36 від 75, щоб отримати 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 18 замість b і 39 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 18 до квадрата.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 324 до 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -18 до 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Розділіть -18+4\sqrt{30} на -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{30} від -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Розділіть -18-4\sqrt{30} на -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+22x+121, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Додайте x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Додайте 28x до -22x, щоб отримати 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Відніміть 121 від 196, щоб отримати 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Додайте 12x до обох сторін.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Додайте 6x до 12x, щоб отримати 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Відніміть 75 з обох сторін.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Відніміть 75 від 36, щоб отримати -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Розділіть 18 на -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Розділіть -39 на -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Поділіть -18 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -9. Потім додайте -9 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Додайте 39 до 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Розкладіть x^{2}-18x+81 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Виконайте спрощення.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$