Розв'яжіть {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте 0 на 5, щоб отримати 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Якщо помножити будь-яке число на нуль, результат буде нульовий.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Обчисліть 0 у степені 2 і отримайте 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Додайте 0 до 25, щоб обчислити 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Відніміть 1 від 25, щоб отримати 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Додайте -150x до -2x, щоб отримати -152x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Додайте 225x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 224x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 224 замість a, -152 замість b і 24 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Піднесіть -152 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Помножте -4 на 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Помножте -896 на 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Додайте 23104 до -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Число, протилежне до -152, дорівнює 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Помножте 2 на 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{152±40}{448} за додатного значення ±. Додайте 152 до 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 64, щоб звести дріб \frac{192}{448} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{152±40}{448} за від’ємного значення ±. Відніміть 40 від 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 112, щоб звести дріб \frac{112}{448} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Помножте 0 на 5, щоб отримати 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Якщо помножити будь-яке число на нуль, результат буде нульовий.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Обчисліть 0 у степені 2 і отримайте 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Додайте 0 до 25, щоб обчислити 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Додайте -150x до -2x, щоб отримати -152x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Додайте 225x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 224x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Відніміть 25 з обох сторін.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Відніміть 25 від 1, щоб отримати -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Розділіть обидві сторони на 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Ділення на 224 скасовує множення на 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-152}{224} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-24}{224} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Поділіть -\frac{19}{28} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{19}{56}. Потім додайте -\frac{19}{56} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{19}{56} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Щоб додати -\frac{3}{28} до \frac{361}{3136}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Додайте \frac{19}{56} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$