Розв'яжіть {left(14-4y/3right)}^2-10(14-4y/3)+y^2-12y-39=0

$${ \left( \frac{ 14-4y }{ 3 } \right) }^{ 2 } -10( \frac{ 14-4y }{ 3 } )+ { y }^{ 2 } -12y-39=0$$

Знайдіть y

$$y=3\sqrt{3}+2\approx 7,196152423$$

$$y=2-3\sqrt{3}\approx -3,196152423$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 3.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Щоб піднести \frac{14-4y}{3} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Виразіть 10\times \frac{14-4y}{3} як єдиний дріб.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 10 на 14-4y.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Найменше спільне кратне чисел 3^{2} та 3 – це 9. Помножте \frac{140-40y}{3} на \frac{3}{3}.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Оскільки знаменник дробів \frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} і \frac{3\left(140-40y\right)}{9} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Виконайте множення у виразі \left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right).

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Зведіть подібні члени у виразі 196-112y+16y^{2}-420+120y.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Відкиньте 9, тобто найбільший спільний дільник для 3 й 9.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

Поділіть кожен член виразу -224+8y+16y^{2} на 3, щоб отримати -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

Додайте \frac{16}{3}y^{2} до 3y^{2}, щоб отримати \frac{25}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

Додайте \frac{8}{3}y до -36y, щоб отримати -\frac{100}{3}y.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

Відніміть 117 від -\frac{224}{3}, щоб отримати -\frac{575}{3}.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y-\frac{575}{3}=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте \frac{25}{3} замість a, -\frac{100}{3} замість b і -\frac{575}{3} замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{100}{3}\right)^{2}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Щоб піднести -\frac{100}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Помножте -4 на \frac{25}{3}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-\frac{100}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Щоб помножити -\frac{100}{3} на -\frac{575}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000+57500}{9}}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Щоб додати \frac{10000}{9} до \frac{57500}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{7500}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7500.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Число, протилежне до -\frac{100}{3}, дорівнює \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Помножте 2 на \frac{25}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}} за додатного значення ±. Додайте \frac{100}{3} до 50\sqrt{3}.

$$y=\frac{50\sqrt{3}+\frac{100}{3}}{\frac{50}{3}}$$

Розділіть \frac{100}{3}+50\sqrt{3} на \frac{50}{3}, помноживши \frac{100}{3}+50\sqrt{3} на величину, обернену до \frac{50}{3}.

$$y=3\sqrt{3}+2$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}} за від’ємного значення ±. Відніміть 50\sqrt{3} від \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}-50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Розділіть \frac{100}{3}-50\sqrt{3} на \frac{50}{3}, помноживши \frac{100}{3}-50\sqrt{3} на величину, обернену до \frac{50}{3}.

$$y=2-3\sqrt{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Помножте обидві сторони цього рівняння на 3.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Щоб піднести \frac{14-4y}{3} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Виразіть 10\times \frac{14-4y}{3} як єдиний дріб.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 10 на 14-4y.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Найменше спільне кратне чисел 3^{2} та 3 – це 9. Помножте \frac{140-40y}{3} на \frac{3}{3}.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Оскільки знаменник дробів \frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} і \frac{3\left(140-40y\right)}{9} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Виконайте множення у виразі \left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right).

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Зведіть подібні члени у виразі 196-112y+16y^{2}-420+120y.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Відкиньте 9, тобто найбільший спільний дільник для 3 й 9.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

Поділіть кожен член виразу -224+8y+16y^{2} на 3, щоб отримати -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

Додайте \frac{16}{3}y^{2} до 3y^{2}, щоб отримати \frac{25}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

Додайте \frac{8}{3}y до -36y, щоб отримати -\frac{100}{3}y.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

Відніміть 117 від -\frac{224}{3}, щоб отримати -\frac{575}{3}.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Додайте \frac{575}{3} до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=\frac{575}{3}$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y=\frac{575}{3}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{25}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$\frac{\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y}{\frac{25}{3}}=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Ділення на \frac{25}{3} скасовує множення на \frac{25}{3}.

$$y^{2}+\left(-\frac{\frac{100}{3}}{\frac{25}{3}}\right)y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Розділіть -\frac{100}{3} на \frac{25}{3}, помноживши -\frac{100}{3} на величину, обернену до \frac{25}{3}.

$$y^{2}-4y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Розділіть \frac{575}{3} на \frac{25}{3}, помноживши \frac{575}{3} на величину, обернену до \frac{25}{3}.

$$y^{2}-4y=23$$

Поділіть -4 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -2. Потім додайте -2 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-4y+\left(-2\right)^{2}=23+\left(-2\right)^{2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$y^{2}-4y+4=23+4$$

Додайте 23 до 4.

$$y^{2}-4y+4=27$$

Розкладіть y^{2}-4y+4 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-2\right)^{2}=27$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{27}$$

Виконайте спрощення.

$$y-2=3\sqrt{3} y-2=-3\sqrt{3}$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$