Розв'яжіть {left(1/3-sqrt{2}right)}^2

$${ \left( \frac{ 1 }{ 3- \sqrt{ 2 } } \right) }^{ 2 }$$

Обчислити

$$\frac{6\sqrt{2}+11}{49}\approx 0,397658804$$

Покрокове розв’язання

Звільніть від ірраціональності знаменник дробу \frac{1}{3-\sqrt{2}}: помножте чисельник і знаменник на 3+\sqrt{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}\right)^{2}$$

Розглянемо \left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{2}$$

Піднесіть 3 до квадрата. Піднесіть \sqrt{2} до квадрата.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{9-2}\right)^{2}$$

Відніміть 2 від 9, щоб отримати 7.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{7}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3+\sqrt{2}}{7} до якогось степеня, піднесіть до цього степеня чисельник і знаменник, а потім поділіть перший на другий.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{7^{2}}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7^{2}}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{7^{2}}$$

Додайте 9 до 2, щоб обчислити 11.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{7^{2}}$$

Обчисліть 7 у степені 2 і отримайте 49.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{49}$$