Розв'яжіть {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Обчислити

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Розглянемо \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Піднесіть \sqrt{3} до квадрата. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Відніміть 1 від 3, щоб отримати 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Помножте \sqrt{3}+1 на \sqrt{3}+1, щоб отримати \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Додайте 3 до 1, щоб обчислити 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Поділіть кожен член виразу 4+2\sqrt{3} на 2, щоб отримати 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Додайте 4 до 3, щоб обчислити 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Розкласти

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Розглянемо \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Піднесіть \sqrt{3} до квадрата. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Відніміть 1 від 3, щоб отримати 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Помножте \sqrt{3}+1 на \sqrt{3}+1, щоб отримати \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Додайте 3 до 1, щоб обчислити 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Поділіть кожен член виразу 4+2\sqrt{3} на 2, щоб отримати 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Додайте 4 до 3, щоб обчислити 7.

$$7+4\sqrt{3}$$