Розв'яжіть sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Знайдіть x

$$x=-2$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+3} у степені 2 і отримайте x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+6} у степені 2 і отримайте x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Додайте x до x, щоб отримати 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Додайте 3 до 6, щоб обчислити 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+11} у степені 2 і отримайте x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Відніміть 2x+9 від обох сторін цього рівняння.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 2x+9, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Додайте x до -2x, щоб отримати -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Відніміть 9 від 11, щоб отримати 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Розкладіть \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+3} у степені 2 і отримайте x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+6} у степені 2 і отримайте x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член 4x+12 на кожен член x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Додайте 24x до 12x, щоб отримати 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Додайте 4x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Додайте 4x до обох сторін.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Додайте 36x до 4x, щоб отримати 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Відніміть 4 з обох сторін.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Відніміть 4 від 72, щоб отримати 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx+68. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 40.

$$a=6 b=34$$

Перепишіть 3x^{2}+40x+68 як \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

3x на першій та 34 в друге групу.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x+2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x+2=0 та 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Підставте -\frac{34}{3} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Вираз \sqrt{-\frac{34}{3}+3} не визначено, оскільки radicand не може бути від'ємним.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Підставте -2 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Спростіть. Значення x=-2 задовольняє рівнянню.

$$3=3$$

Рівняння \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} має один розв’язок.

$$x=-2$$