Розв'яжіть sqrt{4n+3}=n

$$\sqrt{ 4n+3 } = n$$

Знайдіть n

$$n=\sqrt{7}+2\approx 4,645751311$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{4n+3}\right)^{2}=n^{2}$$

Обчисліть \sqrt{4n+3} у степені 2 і отримайте 4n+3.

$$4n+3=n^{2}$$

Відніміть n^{2} з обох сторін.

$$4n+3-n^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-n^{2}+4n+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 4 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$n=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$n=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 3.

$$n=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 16 до 12.

$$n=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 28.

$$n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -4 до 2\sqrt{7}.

$$n=\frac{2\sqrt{7}-4}{-2}$$

Розділіть -4+2\sqrt{7} на -2.

$$n=2-\sqrt{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{7} від -4.

$$n=\frac{-2\sqrt{7}-4}{-2}$$

Розділіть -4-2\sqrt{7} на -2.

$$n=\sqrt{7}+2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=2-\sqrt{7} n=\sqrt{7}+2$$

Підставте 2-\sqrt{7} замість n в іншому рівнянні: \sqrt{4n+3}=n.

$$\sqrt{4\left(2-\sqrt{7}\right)+3}=2-\sqrt{7}$$

Спростіть. Значення n=2-\sqrt{7} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$7^{\frac{1}{2}}-2=2-7^{\frac{1}{2}}$$

Підставте \sqrt{7}+2 замість n в іншому рівнянні: \sqrt{4n+3}=n.

$$\sqrt{4\left(\sqrt{7}+2\right)+3}=\sqrt{7}+2$$

Спростіть. Значення n=\sqrt{7}+2 задовольняє рівнянню.

$$2+7^{\frac{1}{2}}=2+7^{\frac{1}{2}}$$

Рівняння \sqrt{4n+3}=n має один розв’язок.

$$n=\sqrt{7}+2$$