Розв'яжіть sqrt{2x-3}+sqrt{4x+1}=4

$$\sqrt{ 2x-3 } + \sqrt{ 4x+1 } =4$$

Знайдіть x

$$x=2$$

Покрокове розв’язання

Відніміть \sqrt{4x+1} від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{4x+1}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{2x-3} у степені 2 і отримайте 2x-3.

$$2x-3=\left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}.

$$2x-3=16-8\sqrt{4x+1}+\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{4x+1} у степені 2 і отримайте 4x+1.

$$2x-3=16-8\sqrt{4x+1}+4x+1$$

Додайте 16 до 1, щоб обчислити 17.

$$2x-3=17-8\sqrt{4x+1}+4x$$

Відніміть 17+4x від обох сторін цього рівняння.

$$2x-3-\left(17+4x\right)=-8\sqrt{4x+1}$$

Щоб знайти протилежне виразу 17+4x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2x-3-17-4x=-8\sqrt{4x+1}$$

Відніміть 17 від -3, щоб отримати -20.

$$2x-20-4x=-8\sqrt{4x+1}$$

Додайте 2x до -4x, щоб отримати -2x.

$$-2x-20=-8\sqrt{4x+1}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-2x-20\right)^{2}=\left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-2x-20\right)^{2}.

$$4x^{2}+80x+400=\left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Розкладіть \left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}

$$4x^{2}+80x+400=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть -8 у степені 2 і отримайте 64.

$$4x^{2}+80x+400=64\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{4x+1} у степені 2 і отримайте 4x+1.

$$4x^{2}+80x+400=64\left(4x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 64 на 4x+1.

$$4x^{2}+80x+400=256x+64$$

Відніміть 256x з обох сторін.

$$4x^{2}+80x+400-256x=64$$

Додайте 80x до -256x, щоб отримати -176x.

$$4x^{2}-176x+400=64$$

Відніміть 64 з обох сторін.

$$4x^{2}-176x+400-64=0$$

Відніміть 64 від 400, щоб отримати 336.

$$4x^{2}-176x+336=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -176 замість b і 336 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Піднесіть -176 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-16\times 336}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 336.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-5376}}{2\times 4}$$

Додайте 30976 до -5376.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{25600}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25600.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±160}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -176, дорівнює 176.

$$x=\frac{176±160}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{176±160}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{176±160}{8} за додатного значення ±. Додайте 176 до 160.

$$x=\frac{336}{8}$$

Розділіть 336 на 8.

$$x=42$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{176±160}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 160 від 176.

$$x=\frac{16}{8}$$

Розділіть 16 на 8.

$$x=2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=42 x=2$$

Підставте 42 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

$$\sqrt{2\times 42-3}+\sqrt{4\times 42+1}=4$$

Спростіть. Значення x=42 не відповідає рівняння.

$$22=4$$

Підставте 2 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

$$\sqrt{2\times 2-3}+\sqrt{4\times 2+1}=4$$

Спростіть. Значення x=2 задовольняє рівнянню.

$$4=4$$

Рівняння \sqrt{2x-3}=-\sqrt{4x+1}+4 має один розв’язок.

$$x=2$$