Розв'яжіть sqrt{-x^2+9x-18}=3-x

$$\sqrt{ - { x }^{ 2 } +9x-18 } =3-x$$

Знайдіть x

$$x=3$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{-x^{2}+9x-18}\right)^{2}=\left(3-x\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{-x^{2}+9x-18} у степені 2 і отримайте -x^{2}+9x-18.

$$-x^{2}+9x-18=\left(3-x\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3-x\right)^{2}.

$$-x^{2}+9x-18=9-6x+x^{2}$$

Відніміть 9 з обох сторін.

$$-x^{2}+9x-18-9=-6x+x^{2}$$

Відніміть 9 від -18, щоб отримати -27.

$$-x^{2}+9x-27=-6x+x^{2}$$

Додайте 6x до обох сторін.

$$-x^{2}+9x-27+6x=x^{2}$$

Додайте 9x до 6x, щоб отримати 15x.

$$-x^{2}+15x-27=x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$-x^{2}+15x-27-x^{2}=0$$

Додайте -x^{2} до -x^{2}, щоб отримати -2x^{2}.

$$-2x^{2}+15x-27=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -2x^{2}+ax+bx-27. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=15 ab=-2\left(-27\right)=54$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 54.

$$1,54 2,27 3,18 6,9$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+54=55 2+27=29 3+18=21 6+9=15$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 15.

$$a=9 b=6$$

Перепишіть -2x^{2}+15x-27 як \left(-2x^{2}+9x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(6x-27\right)$$

-x на першій та 3 в друге групу.

$$-x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-9, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-9\right)\left(-x+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-9=0 та -x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=3$$

Підставте \frac{9}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{-x^{2}+9x-18}=3-x.

$$\sqrt{-\left(\frac{9}{2}\right)^{2}+9\times \frac{9}{2}-18}=3-\frac{9}{2}$$

Спростіть. Значення x=\frac{9}{2} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Підставте 3 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{-x^{2}+9x-18}=3-x.

$$\sqrt{-3^{2}+9\times 3-18}=3-3$$

Спростіть. Значення x=3 задовольняє рівнянню.

$$0=0$$

Рівняння \sqrt{-x^{2}+9x-18}=3-x має один розв’язок.

$$x=3$$