Розв'яжіть sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Знайдіть x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Найменше спільне кратне чисел 2 та 4 – це 4. Перетворіть \frac{1}{2} та \frac{1}{4} на дроби зі знаменником 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Оскільки \frac{2}{4} та \frac{1}{4} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Додайте 2 до 1, щоб обчислити 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Найменше спільне кратне чисел 4 та 8 – це 8. Перетворіть \frac{3}{4} та \frac{1}{8} на дроби зі знаменником 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Оскільки \frac{6}{8} та \frac{1}{8} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Додайте 6 до 1, щоб обчислити 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Найменше спільне кратне чисел 8 та 16 – це 16. Перетворіть \frac{7}{8} та \frac{1}{16} на дроби зі знаменником 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Оскільки \frac{14}{16} та \frac{1}{16} мають однакову знаменник, додайте їх чисельників.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Додайте 14 до 1, щоб обчислити 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Обчисліть \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} у степені 2 і отримайте \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, \frac{1}{2} замість b і \frac{15}{16} замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Щоб додати \frac{1}{4} до \frac{15}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} за додатного значення ±. Додайте -\frac{1}{2} до 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Розділіть \frac{3}{2} на -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2 від -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Розділіть -\frac{5}{2} на -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Підставте -\frac{3}{4} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Спростіть. Значення x=-\frac{3}{4} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Підставте \frac{5}{4} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Спростіть. Значення x=\frac{5}{4} задовольняє рівнянню.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Рівняння \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x має один розв’язок.

$$x=\frac{5}{4}$$