Розв'яжіть sqrt{x}=x+2

$$\sqrt { x } = x + 2$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}\approx -1,5+1,322875656i$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x+2\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x} у степені 2 і отримайте x.

$$x=\left(x+2\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+2\right)^{2}.

$$x=x^{2}+4x+4$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x-x^{2}=4x+4$$

Відніміть 4x з обох сторін.

$$x-x^{2}-4x=4$$

Додайте x до -4x, щоб отримати -3x.

$$-3x-x^{2}=4$$

Відніміть 4 з обох сторін.

$$-3x-x^{2}-4=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-3x-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -3 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 9 до -16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{3±\sqrt{7}i}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{7}i}{-2} за додатного значення ±. Додайте 3 до i\sqrt{7}.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{-2}$$

Розділіть 3+i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{7}i}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{7} від 3.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{-2}$$

Розділіть 3-i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}$$

Підставте \frac{-\sqrt{7}i-3}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x}=x+2.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}}=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}+2$$

Спростіть. Значення x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2} не відповідає рівняння.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 7^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 7^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Підставте \frac{-3+\sqrt{7}i}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x}=x+2.

$$\sqrt{\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}}=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}+2$$

Спростіть. Значення x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2} задовольняє рівнянню.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 7^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 7^{\frac{1}{2}}$$

Рівняння \sqrt{x}=x+2 має один розв’язок.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}$$