Розв'яжіть sqrt{x}+sqrt{x+1}=3

$$\sqrt { x } + \sqrt { x + 1 } = 3$$

Знайдіть x

$$x = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1,777777778$$

Покрокове розв’язання

Відніміть \sqrt{x+1} від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{x}=3-\sqrt{x+1}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x} у степені 2 і отримайте x.

$$x=\left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3-\sqrt{x+1}\right)^{2}.

$$x=9-6\sqrt{x+1}+\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+1} у степені 2 і отримайте x+1.

$$x=9-6\sqrt{x+1}+x+1$$

Додайте 9 до 1, щоб обчислити 10.

$$x=10-6\sqrt{x+1}+x$$

Додайте 6\sqrt{x+1} до обох сторін.

$$x+6\sqrt{x+1}=10+x$$

Відніміть x з обох сторін.

$$x+6\sqrt{x+1}-x=10$$

Додайте x до -x, щоб отримати 0.

$$6\sqrt{x+1}=10$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\sqrt{x+1}=\frac{10}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{10}{6} до нескоротного вигляду.

$$\sqrt{x+1}=\frac{5}{3}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$x+1=\frac{25}{9}$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x+1-1=\frac{25}{9}-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$x=\frac{25}{9}-1$$

Відніміть 1 від \frac{25}{9}.

$$x=\frac{16}{9}$$

Підставте \frac{16}{9} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x}+\sqrt{x+1}=3.

$$\sqrt{\frac{16}{9}}+\sqrt{\frac{16}{9}+1}=3$$

Спростіть. Значення x=\frac{16}{9} задовольняє рівнянню.

$$3=3$$

Рівняння \sqrt{x}=-\sqrt{x+1}+3 має один розв’язок.

$$x=\frac{16}{9}$$