Розв'яжіть sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x^{2}-1} у степені 2 і отримайте x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{2x+1} у степені 2 і отримайте 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Відніміть 1 від -1, щоб отримати -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -2 замість b і -2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Додайте 4 до 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Розділіть 2+2\sqrt{3} на 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{3} від 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Розділіть 2-2\sqrt{3} на 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Підставте \sqrt{3}+1 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Спростіть. Значення x=\sqrt{3}+1 задовольняє рівнянню.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Підставте 1-\sqrt{3} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Спростіть. Значення x=1-\sqrt{3} задовольняє рівнянню.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Список усіх розв’язків \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Знайдіть x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x^{2}-1} у степені 2 і отримайте x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{2x+1} у степені 2 і отримайте 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Відніміть 1 від -1, щоб отримати -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -2 замість b і -2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Додайте 4 до 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Розділіть 2+2\sqrt{3} на 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{3} від 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Розділіть 2-2\sqrt{3} на 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Підставте \sqrt{3}+1 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Спростіть. Значення x=\sqrt{3}+1 задовольняє рівнянню.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Підставте 1-\sqrt{3} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Вираз \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} не визначено, оскільки radicand не може бути від'ємним.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Рівняння \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} має один розв’язок.

$$x=\sqrt{3}+1$$