Розв'яжіть sqrt{a^2-4a+20}=sqrt{a}

$$\sqrt { a ^ { 2 } - 4 a + 20 } = \sqrt { a }$$

Знайдіть a

$$a=2\sqrt{5}e^{\arctan(\frac{\sqrt{55}}{5})i}\approx 2,5+3,708099244i$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{a^{2}-4a+20}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{a^{2}-4a+20} у степені 2 і отримайте a^{2}-4a+20.

$$a^{2}-4a+20=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{a} у степені 2 і отримайте a.

$$a^{2}-4a+20=a$$

Відніміть a з обох сторін.

$$a^{2}-4a+20-a=0$$

Додайте -4a до -a, щоб отримати -5a.

$$a^{2}-5a+20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -5 замість b і 20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 20}}{2}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 20}}{2}$$

Помножте -4 на 20.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-80}}{2}$$

Додайте 25 до -80.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-55}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -55.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{55}i}{2}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2} за додатного значення ±. Додайте 5 до i\sqrt{55}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{55} від 5.

$$a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Підставте \frac{5+\sqrt{55}i}{2} замість a в іншому рівнянні: \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{5+\sqrt{55}i}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5+\sqrt{55}i}{2}+20}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{55}i}{2}}$$

Спростіть. Значення a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} задовольняє рівнянню.

$$\frac{1}{2}\left(10+2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Підставте \frac{-\sqrt{55}i+5}{2} замість a в іншому рівнянні: \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}\right)^{2}-4\times \frac{-\sqrt{55}i+5}{2}+20}=\sqrt{\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}}$$

Спростіть. Значення a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2} задовольняє рівнянню.

$$\frac{1}{2}\left(10-2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Список усіх розв’язків \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$