Розв'яжіть sqrt{7x}-sqrt{5}=sqrt{3x}

$$\sqrt { 7 x } - \sqrt { 5 } = \sqrt { 3 x }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{5 {(\sqrt{21} + 5)}}{8} \approx 5,989109809$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{7x}-\sqrt{5}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{7x}-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{7x}\right)^{2}-2\sqrt{7x}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{7x} у степені 2 і отримайте 7x.

$$7x-2\sqrt{7x}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x}\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$7x-2\sqrt{7x}\sqrt{5}+5=\left(\sqrt{3x}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{3x} у степені 2 і отримайте 3x.

$$7x-2\sqrt{7x}\sqrt{5}+5=3x$$

Відніміть 7x+5 від обох сторін цього рівняння.

$$-2\sqrt{7x}\sqrt{5}=3x-\left(7x+5\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 7x+5, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$-2\sqrt{7x}\sqrt{5}=3x-7x-5$$

Додайте 3x до -7x, щоб отримати -4x.

$$-2\sqrt{7x}\sqrt{5}=-4x-5$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-2\sqrt{7x}\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Розкладіть \left(-2\sqrt{7x}\sqrt{5}\right)^{2}

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{7x}\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Обчисліть -2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\left(\sqrt{7x}\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{7x} у степені 2 і отримайте 7x.

$$4\times 7x\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Помножте 4 на 7, щоб отримати 28.

$$28x\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$28x\times 5=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Помножте 28 на 5, щоб отримати 140.

$$140x=\left(-4x-5\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-4x-5\right)^{2}.

$$140x=16x^{2}+40x+25$$

Відніміть 16x^{2} з обох сторін.

$$140x-16x^{2}=40x+25$$

Відніміть 40x з обох сторін.

$$140x-16x^{2}-40x=25$$

Додайте 140x до -40x, щоб отримати 100x.

$$100x-16x^{2}=25$$

Відніміть 25 з обох сторін.

$$100x-16x^{2}-25=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-16x^{2}+100x-25=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -16 замість a, 100 замість b і -25 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-16\right)\left(-25\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Піднесіть 100 до квадрата.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-16\right)\left(-25\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте -4 на -16.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+64\left(-25\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 64 на -25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-1600}}{2\left(-16\right)}$$

Додайте 10000 до -1600.

$$x=\frac{-100±\sqrt{8400}}{2\left(-16\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 8400.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{21}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 2 на -16.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{21}}{-32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-100±20\sqrt{21}}{-32} за додатного значення ±. Додайте -100 до 20\sqrt{21}.

$$x=\frac{20\sqrt{21}-100}{-32}$$

Розділіть -100+20\sqrt{21} на -32.

$$x=\frac{25-5\sqrt{21}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-100±20\sqrt{21}}{-32} за від’ємного значення ±. Відніміть 20\sqrt{21} від -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{21}-100}{-32}$$

Розділіть -100-20\sqrt{21} на -32.

$$x=\frac{5\sqrt{21}+25}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{25-5\sqrt{21}}{8} x=\frac{5\sqrt{21}+25}{8}$$

Підставте \frac{25-5\sqrt{21}}{8} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{7x}-\sqrt{5}=\sqrt{3x}.

$$\sqrt{7\times \frac{25-5\sqrt{21}}{8}}-\sqrt{5}=\sqrt{3\times \frac{25-5\sqrt{21}}{8}}$$

Спростіть. Значення x=\frac{25-5\sqrt{21}}{8} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$\frac{3}{4}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}\times 105^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 105^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Підставте \frac{5\sqrt{21}+25}{8} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{7x}-\sqrt{5}=\sqrt{3x}.

$$\sqrt{7\times \frac{5\sqrt{21}+25}{8}}-\sqrt{5}=\sqrt{3\times \frac{5\sqrt{21}+25}{8}}$$

Спростіть. Значення x=\frac{5\sqrt{21}+25}{8} задовольняє рівнянню.

$$\frac{3}{4}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}\times 105^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 105^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Рівняння \sqrt{7x}-\sqrt{5}=\sqrt{3x} має один розв’язок.

$$x=\frac{5\sqrt{21}+25}{8}$$