Розв'яжіть sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

Знайдіть x

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788,589491312$$

Покрокове розв’язання

Відніміть -\sqrt{5x+4} від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{6x-1} у степені 2 і отримайте 6x-1.

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{5x+4} у степені 2 і отримайте 5x+4.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

Додайте 81 до 4, щоб обчислити 85.

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

Відніміть 85+5x від обох сторін цього рівняння.

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

Щоб знайти протилежне виразу 85+5x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Відніміть 85 від -1, щоб отримати -86.

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Додайте 6x до -5x, щоб отримати x.

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-86\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Розкладіть \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Обчисліть 18 у степені 2 і отримайте 324.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{5x+4} у степені 2 і отримайте 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 324 на 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

Відніміть 1620x з обох сторін.

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

Додайте -172x до -1620x, щоб отримати -1792x.

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

Відніміть 1296 з обох сторін.

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

Відніміть 1296 від 7396, щоб отримати 6100.

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -1792 замість b і 6100 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

Піднесіть -1792 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

Помножте -4 на 6100.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

Додайте 3211264 до -24400.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 3186864.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

Число, протилежне до -1792, дорівнює 1792.

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} за додатного значення ±. Додайте 1792 до 36\sqrt{2459}.

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

Розділіть 1792+36\sqrt{2459} на 2.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 36\sqrt{2459} від 1792.

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

Розділіть 1792-36\sqrt{2459} на 2.

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

Підставте 18\sqrt{2459}+896 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Спростіть. Значення x=18\sqrt{2459}+896 задовольняє рівнянню.

$$9=9$$

Підставте 896-18\sqrt{2459} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

Спростіть. Значення x=896-18\sqrt{2459} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

Підставте 18\sqrt{2459}+896 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Спростіть. Значення x=18\sqrt{2459}+896 задовольняє рівнянню.

$$9=9$$

Рівняння \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 має один розв’язок.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$