Розв'яжіть sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Знайдіть x

$$x=2$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{5x-1} у степені 2 і отримайте 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{3x-2} у степені 2 і отримайте 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Додайте 5x до 3x, щоб отримати 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Відніміть 2 від -1, щоб отримати -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x-1} у степені 2 і отримайте x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Відніміть 8x-3 від обох сторін цього рівняння.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 8x-3, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Додайте x до -8x, щоб отримати -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Додайте -1 до 3, щоб обчислити 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Розкладіть \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Обчисліть -2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{5x-1} у степені 2 і отримайте 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{3x-2} у степені 2 і отримайте 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член 20x-4 на кожен член 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Додайте -40x до -12x, щоб отримати -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Відніміть 49x^{2} з обох сторін.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Додайте 60x^{2} до -49x^{2}, щоб отримати 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Додайте 28x до обох сторін.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Додайте -52x до 28x, щоб отримати -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Відніміть 4 з обох сторін.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Відніміть 4 від 8, щоб отримати 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 11x^{2}+ax+bx+4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -24.

$$a=-22 b=-2$$

Перепишіть 11x^{2}-24x+4 як \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

11x на першій та -2 в друге групу.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-2=0 та 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Підставте \frac{2}{11} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Вираз \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} не визначено, оскільки radicand не може бути від'ємним.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Підставте 2 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Спростіть. Значення x=2 задовольняє рівнянню.

$$1=1$$

Рівняння \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} має один розв’язок.

$$x=2$$