Розв'яжіть sqrt{3a-4}=sqrt{2}a

$$\sqrt { 3 a - 4 } = \sqrt { 2 } a$$

Знайдіть a

$$a=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,75+1,198957881i$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{3a-4}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}a\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{3a-4} у степені 2 і отримайте 3a-4.

$$3a-4=\left(\sqrt{2}a\right)^{2}$$

Розкладіть \left(\sqrt{2}a\right)^{2}

$$3a-4=\left(\sqrt{2}\right)^{2}a^{2}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$3a-4=2a^{2}$$

Відніміть 2a^{2} з обох сторін.

$$3a-4-2a^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2a^{2}+3a-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 3 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\left(-4\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$a=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\left(-4\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$a=\frac{-3±\sqrt{9+8\left(-4\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на -4.

$$a=\frac{-3±\sqrt{9-32}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 9 до -32.

$$a=\frac{-3±\sqrt{-23}}{2\left(-2\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -23.

$$a=\frac{-3±\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$a=\frac{-3±\sqrt{23}i}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{-3±\sqrt{23}i}{-4} за додатного значення ±. Додайте -3 до i\sqrt{23}.

$$a=\frac{-3+\sqrt{23}i}{-4}$$

Розділіть -3+i\sqrt{23} на -4.

$$a=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння a=\frac{-3±\sqrt{23}i}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{23} від -3.

$$a=\frac{-\sqrt{23}i-3}{-4}$$

Розділіть -3-i\sqrt{23} на -4.

$$a=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$a=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4} a=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Підставте \frac{-\sqrt{23}i+3}{4} замість a в іншому рівнянні: \sqrt{3a-4}=\sqrt{2}a.

$$\sqrt{3\times \frac{-\sqrt{23}i+3}{4}-4}=\sqrt{2}\times \frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Спростіть. Значення a=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4} не відповідає рівняння.

$$-\frac{3}{4}\times 2^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}i\times 46^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 2^{\frac{1}{2}}\left(-i\times 23^{\frac{1}{2}}+3\right)$$

Підставте \frac{3+\sqrt{23}i}{4} замість a в іншому рівнянні: \sqrt{3a-4}=\sqrt{2}a.

$$\sqrt{3\times \frac{3+\sqrt{23}i}{4}-4}=\sqrt{2}\times \frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Спростіть. Значення a=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} задовольняє рівнянню.

$$\frac{3}{4}\times 2^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}i\times 46^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 2^{\frac{1}{2}}\left(3+i\times 23^{\frac{1}{2}}\right)$$

Рівняння \sqrt{3a-4}=\sqrt{2}a має один розв’язок.

$$a=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$