Розв'яжіть sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Покрокове розв’язання

Відніміть -\sqrt{15+x^{2}} від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{25-x^{2}} у степені 2 і отримайте 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{15+x^{2}} у степені 2 і отримайте 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Додайте 16 до 15, щоб обчислити 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Відніміть 31+x^{2} від обох сторін цього рівняння.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Щоб знайти протилежне виразу 31+x^{2}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Відніміть 31 від 25, щоб отримати -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Додайте -x^{2} до -x^{2}, щоб отримати -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Розкладіть \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть 8 у степені 2 і отримайте 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{15+x^{2}} у степені 2 і отримайте 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 64 на 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Відніміть 960 з обох сторін.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Відніміть 960 від 36, щоб отримати -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Відніміть 64x^{2} з обох сторін.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Додайте 24x^{2} до -64x^{2}, щоб отримати -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Підставте t для x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 4 на a, -40 – на b, а -924 – на c.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Розв’яжіть рівняння t=\frac{40±128}{8} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$t=21 t=-11$$

Оскільки x=t^{2} – це рішення, отримані під час обчислення x=±\sqrt{t} для кожної t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Підставте -\sqrt{21} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Спростіть. Значення x=-\sqrt{21} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$-4=4$$

Підставте \sqrt{21} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Спростіть. Значення x=\sqrt{21} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$-4=4$$

Підставте -\sqrt{11}i замість x в іншому рівнянні: \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Спростіть. Значення x=-\sqrt{11}i задовольняє рівнянню.

$$4=4$$

Підставте \sqrt{11}i замість x в іншому рівнянні: \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Спростіть. Значення x=\sqrt{11}i задовольняє рівнянню.

$$4=4$$

Список усіх розв’язків \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$