Розв'яжіть sqrt{2x-3}+4=14-sqrt{8x-12}

$$\sqrt { 2 x - 3 } + 4 = 14 - \sqrt { 8 x - 12 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{127}{18} = 7\frac{1}{18} \approx 7,055555556$$

Покрокове розв’язання

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{2x-3}=14-\sqrt{8x-12}-4$$

Відніміть 4 від 14, щоб отримати 10.

$$\sqrt{2x-3}=10-\sqrt{8x-12}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(10-\sqrt{8x-12}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{2x-3} у степені 2 і отримайте 2x-3.

$$2x-3=\left(10-\sqrt{8x-12}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(10-\sqrt{8x-12}\right)^{2}.

$$2x-3=100-20\sqrt{8x-12}+\left(\sqrt{8x-12}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{8x-12} у степені 2 і отримайте 8x-12.

$$2x-3=100-20\sqrt{8x-12}+8x-12$$

Відніміть 12 від 100, щоб отримати 88.

$$2x-3=88-20\sqrt{8x-12}+8x$$

Відніміть 88+8x від обох сторін цього рівняння.

$$2x-3-\left(88+8x\right)=-20\sqrt{8x-12}$$

Щоб знайти протилежне виразу 88+8x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2x-3-88-8x=-20\sqrt{8x-12}$$

Відніміть 88 від -3, щоб отримати -91.

$$2x-91-8x=-20\sqrt{8x-12}$$

Додайте 2x до -8x, щоб отримати -6x.

$$-6x-91=-20\sqrt{8x-12}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-6x-91\right)^{2}=\left(-20\sqrt{8x-12}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-6x-91\right)^{2}.

$$36x^{2}+1092x+8281=\left(-20\sqrt{8x-12}\right)^{2}$$

Розкладіть \left(-20\sqrt{8x-12}\right)^{2}

$$36x^{2}+1092x+8281=\left(-20\right)^{2}\left(\sqrt{8x-12}\right)^{2}$$

Обчисліть -20 у степені 2 і отримайте 400.

$$36x^{2}+1092x+8281=400\left(\sqrt{8x-12}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{8x-12} у степені 2 і отримайте 8x-12.

$$36x^{2}+1092x+8281=400\left(8x-12\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 400 на 8x-12.

$$36x^{2}+1092x+8281=3200x-4800$$

Відніміть 3200x з обох сторін.

$$36x^{2}+1092x+8281-3200x=-4800$$

Додайте 1092x до -3200x, щоб отримати -2108x.

$$36x^{2}-2108x+8281=-4800$$

Додайте 4800 до обох сторін.

$$36x^{2}-2108x+8281+4800=0$$

Додайте 8281 до 4800, щоб обчислити 13081.

$$36x^{2}-2108x+13081=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 36 замість a, -2108 замість b і 13081 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2108\right)±\sqrt{\left(-2108\right)^{2}-4\times 36\times 13081}}{2\times 36}$$

Піднесіть -2108 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2108\right)±\sqrt{4443664-4\times 36\times 13081}}{2\times 36}$$

Помножте -4 на 36.

$$x=\frac{-\left(-2108\right)±\sqrt{4443664-144\times 13081}}{2\times 36}$$

Помножте -144 на 13081.

$$x=\frac{-\left(-2108\right)±\sqrt{4443664-1883664}}{2\times 36}$$

Додайте 4443664 до -1883664.

$$x=\frac{-\left(-2108\right)±\sqrt{2560000}}{2\times 36}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2560000.

$$x=\frac{-\left(-2108\right)±1600}{2\times 36}$$

Число, протилежне до -2108, дорівнює 2108.

$$x=\frac{2108±1600}{2\times 36}$$

Помножте 2 на 36.

$$x=\frac{2108±1600}{72}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2108±1600}{72} за додатного значення ±. Додайте 2108 до 1600.

$$x=\frac{3708}{72}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 36, щоб звести дріб \frac{3708}{72} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{103}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2108±1600}{72} за від’ємного значення ±. Відніміть 1600 від 2108.

$$x=\frac{508}{72}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{508}{72} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{127}{18}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{103}{2} x=\frac{127}{18}$$

Підставте \frac{103}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{2x-3}+4=14-\sqrt{8x-12}.

$$\sqrt{2\times \frac{103}{2}-3}+4=14-\sqrt{8\times \frac{103}{2}-12}$$

Спростіть. Значення x=\frac{103}{2} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$14=-6$$

Підставте \frac{127}{18} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{2x-3}+4=14-\sqrt{8x-12}.

$$\sqrt{2\times \frac{127}{18}-3}+4=14-\sqrt{8\times \frac{127}{18}-12}$$

Спростіть. Значення x=\frac{127}{18} задовольняє рівнянню.

$$\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$$

Рівняння \sqrt{2x-3}=-\sqrt{8x-12}+10 має один розв’язок.

$$x=\frac{127}{18}$$