Розв'яжіть sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{2-x} у степені 2 і отримайте 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Додайте 2x до обох сторін.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Додайте -x до 2x, щоб отримати x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Відніміть 1 від 2, щоб отримати 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 1 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 1 до 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Розділіть -1+\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{5} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Розділіть -1-\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Підставте \frac{1-\sqrt{5}}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Спростіть. Значення x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Підставте \frac{\sqrt{5}+1}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Спростіть. Значення x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} задовольняє рівнянню.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Рівняння \sqrt{2-x}=x-1 має один розв’язок.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$