Розв'яжіть sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Знайдіть x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Покрокове розв’язання

Відніміть -\sqrt{19-x^{2}} від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{15+x^{2}} у степені 2 і отримайте 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{19-x^{2}} у степені 2 і отримайте 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Додайте 4 до 19, щоб обчислити 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Відніміть 23-x^{2} від обох сторін цього рівняння.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Щоб знайти протилежне виразу 23-x^{2}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Відніміть 23 від 15, щоб отримати -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Додайте x^{2} до x^{2}, щоб отримати 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Розкладіть \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть 4 у степені 2 і отримайте 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{19-x^{2}} у степені 2 і отримайте 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 16 на 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Відніміть 304 з обох сторін.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Відніміть 304 від 64, щоб отримати -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Додайте 16x^{2} до обох сторін.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Додайте -32x^{2} до 16x^{2}, щоб отримати -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Підставте t для x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 4 на a, -16 – на b, а -240 – на c.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Розв’яжіть рівняння t=\frac{16±64}{8} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$t=10 t=-6$$

Оскільки x=t^{2}, вони отримані під час оцінювання t x=±\sqrt{t}.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Підставте \sqrt{10} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Спростіть. Значення x=\sqrt{10} задовольняє рівнянню.

$$2=2$$

Підставте -\sqrt{10} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Спростіть. Значення x=-\sqrt{10} задовольняє рівнянню.

$$2=2$$

Список усіх розв’язків \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$