Розв'яжіть sqrt{-24x-23}-sqrt{32x-48}=1

$$\sqrt { - 24 x - 23 } - \sqrt { 32 x - 48 } = 1$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+22}{49}\approx 0,448979592-0,208123245i$$

Покрокове розв’язання

Відніміть -\sqrt{32x-48} від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{-24x-23}=1+\sqrt{32x-48}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{-24x-23}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{32x-48}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{-24x-23} у степені 2 і отримайте -24x-23.

$$-24x-23=\left(1+\sqrt{32x-48}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(1+\sqrt{32x-48}\right)^{2}.

$$-24x-23=1+2\sqrt{32x-48}+\left(\sqrt{32x-48}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{32x-48} у степені 2 і отримайте 32x-48.

$$-24x-23=1+2\sqrt{32x-48}+32x-48$$

Відніміть 48 від 1, щоб отримати -47.

$$-24x-23=-47+2\sqrt{32x-48}+32x$$

Відніміть -47+32x від обох сторін цього рівняння.

$$-24x-23-\left(-47+32x\right)=2\sqrt{32x-48}$$

Щоб знайти протилежне виразу -47+32x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$-24x-23+47-32x=2\sqrt{32x-48}$$

Додайте -23 до 47, щоб обчислити 24.

$$-24x+24-32x=2\sqrt{32x-48}$$

Додайте -24x до -32x, щоб отримати -56x.

$$-56x+24=2\sqrt{32x-48}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-56x+24\right)^{2}=\left(2\sqrt{32x-48}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-56x+24\right)^{2}.

$$3136x^{2}-2688x+576=\left(2\sqrt{32x-48}\right)^{2}$$

Розкладіть \left(2\sqrt{32x-48}\right)^{2}

$$3136x^{2}-2688x+576=2^{2}\left(\sqrt{32x-48}\right)^{2}$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$3136x^{2}-2688x+576=4\left(\sqrt{32x-48}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{32x-48} у степені 2 і отримайте 32x-48.

$$3136x^{2}-2688x+576=4\left(32x-48\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на 32x-48.

$$3136x^{2}-2688x+576=128x-192$$

Відніміть 128x з обох сторін.

$$3136x^{2}-2688x+576-128x=-192$$

Додайте -2688x до -128x, щоб отримати -2816x.

$$3136x^{2}-2816x+576=-192$$

Додайте 192 до обох сторін.

$$3136x^{2}-2816x+576+192=0$$

Додайте 576 до 192, щоб обчислити 768.

$$3136x^{2}-2816x+768=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3136 замість a, -2816 замість b і 768 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2816\right)±\sqrt{\left(-2816\right)^{2}-4\times 3136\times 768}}{2\times 3136}$$

Піднесіть -2816 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2816\right)±\sqrt{7929856-4\times 3136\times 768}}{2\times 3136}$$

Помножте -4 на 3136.

$$x=\frac{-\left(-2816\right)±\sqrt{7929856-12544\times 768}}{2\times 3136}$$

Помножте -12544 на 768.

$$x=\frac{-\left(-2816\right)±\sqrt{7929856-9633792}}{2\times 3136}$$

Додайте 7929856 до -9633792.

$$x=\frac{-\left(-2816\right)±\sqrt{-1703936}}{2\times 3136}$$

Видобудьте квадратний корінь із -1703936.

$$x=\frac{-\left(-2816\right)±256\sqrt{26}i}{2\times 3136}$$

Число, протилежне до -2816, дорівнює 2816.

$$x=\frac{2816±256\sqrt{26}i}{2\times 3136}$$

Помножте 2 на 3136.

$$x=\frac{2816±256\sqrt{26}i}{6272}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2816±256\sqrt{26}i}{6272} за додатного значення ±. Додайте 2816 до 256i\sqrt{26}.

$$x=\frac{2816+256\sqrt{26}i}{6272}$$

Розділіть 2816+256i\sqrt{26} на 6272.

$$x=\frac{22+2\sqrt{26}i}{49}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2816±256\sqrt{26}i}{6272} за від’ємного значення ±. Відніміть 256i\sqrt{26} від 2816.

$$x=\frac{-256\sqrt{26}i+2816}{6272}$$

Розділіть 2816-256i\sqrt{26} на 6272.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+22}{49}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{22+2\sqrt{26}i}{49} x=\frac{-2\sqrt{26}i+22}{49}$$

Підставте \frac{22+2\sqrt{26}i}{49} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{-24x-23}-\sqrt{32x-48}=1.

$$\sqrt{-24\times \frac{22+2\sqrt{26}i}{49}-23}-\sqrt{32\times \frac{22+2\sqrt{26}i}{49}-48}=1$$

Спростіть. Значення x=\frac{22+2\sqrt{26}i}{49} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$-1=1$$

Підставте \frac{-2\sqrt{26}i+22}{49} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{-24x-23}-\sqrt{32x-48}=1.

$$\sqrt{-24\times \frac{-2\sqrt{26}i+22}{49}-23}-\sqrt{32\times \frac{-2\sqrt{26}i+22}{49}-48}=1$$

Спростіть. Значення x=\frac{-2\sqrt{26}i+22}{49} задовольняє рівнянню.

$$1=1$$

Рівняння \sqrt{-24x-23}=\sqrt{32x-48}+1 має один розв’язок.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+22}{49}$$