Розв'яжіть sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Знайдіть x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Додайте 4 до 4, щоб обчислити 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} у степені 2 і отримайте x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Додайте 4 до 16, щоб обчислити 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} у степені 2 і отримайте x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Додайте x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Відніміть 4x з обох сторін.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Додайте -4x до -4x, щоб отримати -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Відніміть 8 з обох сторін.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Відніміть 8 від 20, щоб отримати 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Відніміть y^{2} з обох сторін.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Додайте y^{2} до -y^{2}, щоб отримати 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Додайте 4y до обох сторін.

$$-8x=12-8y+4y$$

Додайте -8y до 4y, щоб отримати -4y.

$$-8x=12-4y$$

Розділіть обидві сторони на -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Ділення на -8 скасовує множення на -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Розділіть 12-4y на -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Підставте \frac{y-3}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Спростіть. Значення x=\frac{y-3}{2} задовольняє рівнянню.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Рівняння \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} має один розв’язок.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Знайдіть y

$$y=2x+3$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Додайте 4 до 4, щоб обчислити 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} у степені 2 і отримайте x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Додайте 4 до 16, щоб обчислити 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} у степені 2 і отримайте x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Відніміть y^{2} з обох сторін.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Додайте y^{2} до -y^{2}, щоб отримати 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Додайте 8y до обох сторін.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Додайте -4y до 8y, щоб отримати 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Додайте x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Додайте 4x до обох сторін.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Додайте 4x до 4x, щоб отримати 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Відніміть 8 з обох сторін.

$$4y=8x+20-8$$

Відніміть 8 від 20, щоб отримати 12.

$$4y=8x+12$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Розділіть 8x+12 на 4.

$$y=2x+3$$

Підставте 2x+3 замість y в іншому рівнянні: \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Спростіть. Значення y=2x+3 задовольняє рівнянню.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Рівняння \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} має один розв’язок.

$$y=2x+3$$