Розв'яжіть {lll}{i}&{j}&{k}{1}&{2}&{3}{4}&{5}&{6}

$$\left| \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 5 } & { 6 } \end{array} \right|$$

Обчислити

$$6j-3k-3i$$

Покрокове використання правила Саррюса

Знайдіть визначник матриці за допомогою правила діагоналей.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&2&3\\4&5&6\end{matrix}\right))$$

Доповніть вихідну матрицю першими двома стовпцями на місці четвертого та п’ятого.

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\1&2&3&1&2\\4&5&6&4&5\end{matrix}\right)$$

Починаючи з верхнього лівого елемента, перемножте елементи вздовж діагоналей за напрямком униз і підсумуйте отримані добутки.

$$2i\times 6+j\times 3\times 4+k\times 5=12j+5k+12i$$

Починаючи з нижнього лівого елемента, перемножайте елементи вздовж діагоналей за напрямком угору та підсумовуйте отримані добутки.

$$4\times 2k+5\times \left(3i\right)+6j=6j+8k+15i$$

Відніміть суму добутків елементів висхідних діагоналей від суми добутків елементів спадних діагоналей.

$$12j+5k+12i-\left(6j+8k+15i\right)$$

Відніміть 8k+15i+6j від 12i+12j+5k.

$$6j-3k-3i$$

Покрокове використання розкладення за мінорами

Знайдіть визначник матриці за допомогою розкладення на мінори (цей метод також називається розкладанням за алгебраїчними доповненнями).

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&2&3\\4&5&6\end{matrix}\right))$$

Щоб розкласти матрицю за мінорами, помножте кожен її елемент першого рядка на відповідний мінор (це визначник матриці 2\times 2, яку можна отримати, викресливши рядок і стовпець, що містять цей елемент) і на знак, який відповідає розташуванню елемента.

$$idet(\left(\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))$$

Для \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матриці 2\times 2 визначник ad-bc.

$$i\left(2\times 6-5\times 3\right)-j\left(6-4\times 3\right)+k\left(5-4\times 2\right)$$

Виконайте спрощення.

$$-3i-j\left(-6\right)+k\left(-3\right)$$

Обчисліть суму членів, щоб отримати кінцевий результат.

$$6j-3k-3i$$