Розв'яжіть {ccc}{i}&{j}&{k}{1}&{-2}&{2}{3}&{2}&{0}

$$\left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { k } \\ { 1 } & { - 2 } & { 2 } \\ { 3 } & { 2 } & { 0 } \end{array} \right|$$

Обчислити

$$6j+8k-4i$$

Покрокове використання правила Саррюса

Знайдіть визначник матриці за допомогою правила діагоналей.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&-2&2\\3&2&0\end{matrix}\right))$$

Доповніть вихідну матрицю першими двома стовпцями на місці четвертого та п’ятого.

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\1&-2&2&1&-2\\3&2&0&3&2\end{matrix}\right)$$

Починаючи з верхнього лівого елемента, перемножте елементи вздовж діагоналей за напрямком униз і підсумуйте отримані добутки.

$$j\times 2\times 3+k\times 2=6j+2k$$

Починаючи з нижнього лівого елемента, перемножайте елементи вздовж діагоналей за напрямком угору та підсумовуйте отримані добутки.

$$3\left(-2\right)k+2\times \left(2i\right)=4i-6k$$

Відніміть суму добутків елементів висхідних діагоналей від суми добутків елементів спадних діагоналей.

$$6j+2k-\left(4i-6k\right)$$

Відніміть -6k+4i від 6j+2k.

$$6j+8k-4i$$

Покрокове використання розкладення за мінорами

Знайдіть визначник матриці за допомогою розкладення на мінори (цей метод також називається розкладанням за алгебраїчними доповненнями).

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&-2&2\\3&2&0\end{matrix}\right))$$

Щоб розкласти матрицю за мінорами, помножте кожен її елемент першого рядка на відповідний мінор (це визначник матриці 2\times 2, яку можна отримати, викресливши рядок і стовпець, що містять цей елемент) і на знак, який відповідає розташуванню елемента.

$$idet(\left(\begin{matrix}-2&2\\2&0\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}1&2\\3&0\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))$$

Для \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матриці 2\times 2 визначник ad-bc.

$$i\left(-2\times 2\right)-j\left(-3\times 2\right)+k\left(2-3\left(-2\right)\right)$$

Виконайте спрощення.

$$-4i-j\left(-6\right)+k\times 8$$

Обчисліть суму членів, щоб отримати кінцевий результат.

$$6j+8k-4i$$