Розв'яжіть {ccc}{0}&{2}&{0}{z}&{3i}&{i}{-i}&{0}&{1+i}

$$\left| \begin{array} { c c c } { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { z } & { 3 i } & { i } \\ { - i } & { 0 } & { 1 + i } \end{array} \right|$$

Обчислити

$$\left(-2-2i\right)z+2$$

Покрокове використання правила Саррюса

Знайдіть визначник матриці за допомогою правила діагоналей.

$$det(\left(\begin{matrix}0&2&0\\z&3i&i\\-i&0&1+i\end{matrix}\right))$$

Доповніть вихідну матрицю першими двома стовпцями на місці четвертого та п’ятого.

$$\left(\begin{matrix}0&2&0&0&2\\z&3i&i&z&3i\\-i&0&1+i&-i&0\end{matrix}\right)$$

Починаючи з верхнього лівого елемента, перемножте елементи вздовж діагоналей за напрямком униз і підсумуйте отримані добутки.

$$2i\left(-i\right)=2$$

Починаючи з нижнього лівого елемента, перемножайте елементи вздовж діагоналей за напрямком угору та підсумовуйте отримані добутки.

$$\left(1+i\right)z\times 2=\left(2+2i\right)z$$

Відніміть суму добутків елементів висхідних діагоналей від суми добутків елементів спадних діагоналей.

$$2-\left(2+2i\right)z$$

Відніміть \left(2+2i\right)z від 2.

$$\left(-2-2i\right)z+2$$

Покрокове використання розкладення за мінорами

Знайдіть визначник матриці за допомогою розкладення на мінори (цей метод також називається розкладанням за алгебраїчними доповненнями).

$$det(\left(\begin{matrix}0&2&0\\z&3i&i\\-i&0&1+i\end{matrix}\right))$$

Щоб розкласти матрицю за мінорами, помножте кожен її елемент першого рядка на відповідний мінор (це визначник матриці 2\times 2, яку можна отримати, викресливши рядок і стовпець, що містять цей елемент) і на знак, який відповідає розташуванню елемента.

$$-2det(\left(\begin{matrix}z&i\\-i&1+i\end{matrix}\right))$$

Визначник матриці \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) розмірності 2\times 2 дорівнює ad-bc.

$$-2\left(z\left(1+i\right)-\left(-ii\right)\right)$$

Виконайте спрощення.

$$-2\left(\left(1+i\right)z-1\right)$$

Обчисліть суму членів, щоб отримати кінцевий результат.

$$\left(-2-2i\right)z+2$$