Розв'яжіть {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Знайдіть y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-2x=4$$

Додайте 2x до обох сторін цього рівняння.

$$y=2x+4$$

Підставте 4+2x замість y в іншому рівнянні: 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Помножте 3 на 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Додайте 6x до 2x.

$$8x+12=28$$

Відніміть 12 від обох сторін цього рівняння.

$$8x=16$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$x=2$$

Підставте 2 замість x у рівняння y=2x+4. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=2\times 2+4$$

Помножте 2 на 2.

$$y=4+4$$

Додайте 4 до 4.

$$y=8$$

Систему розв’язано.

$$y=8,x=2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=8,x=2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Щоб отримати рівність між y і 3y, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 3, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Виконайте спрощення.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Знайдіть різницю 3y+2x=28 і 3y-6x=12. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Додайте 3y до -3y. Члени 3y та -3y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-6x-2x=12-28$$

Додайте -6x до -2x.

$$-8x=12-28$$

Додайте 12 до -28.

$$-8x=-16$$

Розділіть обидві сторони на -8.

$$x=2$$

Підставте 2 замість x у рівняння 3y+2x=28. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$3y+2\times 2=28$$

Помножте 2 на 2.

$$3y+4=28$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$3y=24$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$y=8$$

Систему розв’язано.

$$y=8,x=2$$