Розв'яжіть {l}{y=x}{y=-x+2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x } \\ { y = - x + 2 } \end{array} \right\}$$

Знайдіть y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть x з обох сторін.

$$y-x=0$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте x до обох сторін.

$$y+x=2$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-x=0,y+x=2$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-x=0$$

Додайте x до обох сторін цього рівняння.

$$y=x$$

Підставте x замість y в іншому рівнянні: y+x=2.

$$x+x=2$$

Додайте x до x.

$$2x=2$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x=1$$

Підставте 1 замість x у рівняння y=x. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=1$$

Систему розв’язано.

$$y=1,x=1$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть x з обох сторін.

$$y-x=0$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте x до обох сторін.

$$y+x=2$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-x=0,y+x=2$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=1,x=1$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть x з обох сторін.

$$y-x=0$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте x до обох сторін.

$$y+x=2$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-x=0,y+x=2$$

Знайдіть різницю y+x=2 і y-x=0. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$y-y-x-x=-2$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-x-x=-2$$

Додайте -x до -x.

$$-2x=-2$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$x=1$$

Підставте 1 замість x у рівняння y+x=2. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y+1=2$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$y=1$$

Систему розв’язано.

$$y=1,x=1$$