Розв'яжіть {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Знайдіть y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 3x з обох сторін.

$$y-3x=0$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-3x=0$$

Додайте 3x до обох сторін цього рівняння.

$$y=3x$$

Підставте 3x замість y в іншому рівнянні: y+x=16.

$$3x+x=16$$

Додайте 3x до x.

$$4x=16$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=4$$

Підставте 4 замість x у рівняння y=3x. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=3\times 4$$

Помножте 3 на 4.

$$y=12$$

Систему розв’язано.

$$y=12,x=4$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 3x з обох сторін.

$$y-3x=0$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=12,x=4$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 3x з обох сторін.

$$y-3x=0$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Знайдіть різницю y+x=16 і y-3x=0. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$y-y-3x-x=-16$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-3x-x=-16$$

Додайте -3x до -x.

$$-4x=-16$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$x=4$$

Підставте 4 замість x у рівняння y+x=16. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y+4=16$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$y=12$$

Систему розв’язано.

$$y=12,x=4$$